通量形式欧拉方程

使用上面定义的变量，通量形式的欧拉方程可以写成

$$\partial_t U + (\nabla \cdot \mathbf u) + \mu_d \alpha \partial_x p + (\alpha/\alpha_d)\partial_\eta p \partial_x \phi = F_U \tag{2.8}$$

$$\partial_t V + (\nabla \cdot \mathbf v) + \mu_d \alpha \partial_y p + (\alpha/\alpha_d)\partial_\eta p \partial_y \phi = F_V \tag{2.9}$$

$$\partial_t W + (\nabla \cdot \mathbf w) -g[(\alpha/\alpha_d)\partial_\eta p - \mu_d]= F_W \tag{2.10}$$

$$\partial_t \Theta_m + (\nabla \cdot \mathbf \theta_m) = F_{\Theta_m} \tag{2.11}$$

$$\partial_t \mu_d + (\nabla \cdot \mathbf) = 0 \tag{2.12}$$

$$\partial_t \phi + \mu_d^{-1}[(\mathbf \cdot \nabla\phi) - gW] = 0 \tag{2.13}$$

$$\partial_t Q_m + (\nabla \cdot \mathbf q_m) = F_{Q_m} \tag{2.14}$$

带有干静力压诊断方程式

$${\partial}_\eta\phi = -\alpha_d\mu_d \tag{2.15}$$

以及完整压力的诊断关系 （干空气加水汽）

$$p = p_0(\frac{R_d\theta_m}{p_0\alpha_d})^\gamma . \tag{2.16}$$

在这些方程式中，$\alpha_d$ 是干燥空气的密度的倒数 $(1/\rho_d)$，而 $\alpha$ 是考虑到整个气块密度的密度的倒数 $\alpha = \alpha_d(1 + q_v + q_c + q_r + q_i + \cdots )^{-1}$ 。

在 (2.8) – (2.14) 式中，下标 $x，y$ 和 $\eta$ 表示微分

$$\nabla \cdot \mathbf{V} \alpha = \partial_x (U \alpha) + \partial_y(V \alpha) + \partial_\eta(\Omega\alpha)$$

and

$$\mathbf{V} \cdot \nabla\alpha = U\partial_x\alpha + V\partial_y\alpha + \Omega\partial_\eta \alpha$$

其中 $\alpha$ 表示通用变量。$\gamma = c_p / c_v = 1.4$ 是干空气的比热容，$R_d$ 是干燥空气的气体常数，$p_0$ 是参考地表压力 （通常为 $10^5$ 帕斯卡） 。等式右侧项 (RHS) $F_U, F_V, F_W$ 和 $F_{\Theta_m}$ 表示由模型物理，湍流混合，球形投影和地球自转引起的强迫项。

在指定预报方程组时，可以使用预报压力方程代替 (2.13) 式 （参见 Laprise，1992) 。但是，压力不是保守变量，而以压力作为预报变量，我们不能对 $\Theta_m$ 使用守恒方程 (2.11) ，因为它们是线性相关的。此外，预报压力方程的缺点是质量散度项乘以大系数 （与声速成正比） ，这使空间和时间离散化成为问题。应该注意的是，干静力压 (2.15) 的关系并不对解添加静力约束，而是正式地属于坐标定义的诊断关系。在与非静力方程相对应的静力方程中，完整的静力方程 $\partial_\eta p = \mu_d\alpha_d/\alpha$ 代替了垂直动量方程式 (2.10) ，并对解施加了静力约束。

在以前版本的 ARW 中，预报热力学方程式是用 $\Theta$ 而不是 (2.11) 中的 $\Theta_m$ 表示的。该表示与以下期望一致，即 $q_v$ 的变化在下一章所述的显式分离数值中的较小声学时间步长中几乎没有影响，这已被证明是广泛应用的可靠近似。然而，在最近的研究中，Xiao 等人 (2015) 发现，在高分辨率的 LES 中，水汽在垂直方向上有明显的变化，WRF 模拟对适应声学模式的时间步长表现出较高的敏感程度。用 $\Theta_m$ 表示预报热力学方程，可以在声学时间步长期间计算压力时对水分进行一致的处理，以及消除了杂散运动和时间步长敏感性。使用 $\Theta_m$ 作为预测热力学变量也与跨尺度预测模型 (MPAS) 中使用的公式一致，该模型利用了类似的显式分离数值 (Skamarock et al.，2012) 。