控制方程的扰动形式

在构造离散求解器之前，使用扰动量重塑控制方程以减少离散求解器的水平气压梯度计算中的截断误差，以及垂直压力梯度和浮力计算中的机器舍入误差是有利的。为此，将新变量定义为静力平衡参考状态的扰动，并且我们定义参考状态变量（用上划线表示），这些变量仅是高度的函数，并且满足静止大气的控制方程。即，参考状态处于静力平衡状态，并且严格地仅是 $\bar{z}$ 的函数。这样，$p = \bar{p}(\bar{z}) + p', \phi = \bar{\phi}(\bar{z}) + \phi', \alpha = \bar{\alpha}_d(\bar{z}) + \alpha'_d$。因为 $\eta$ 坐标表面通常不是水平的，所以参考轮廓 $\bar{p}$, $\bar{\phi}$, 和 $\bar{\alpha}$ 是 $(x,y,\eta)$ 的函数。使用这些扰动变量可以消除参考探空中压力梯度的静力平衡部分，而无需近似于方程式。动量方程（2.18）–（2.20）表示为

$$\begin{aligned} \partial_t U + & m_x [\partial_x(Uu) + \partial_y(Vu)] + \partial_{\eta}(\Omega u) \\ &+ (m_x/m_y)(\alpha / \alpha_d)[\mu_d(\partial_x\phi' + \alpha_d\partial_x p' + \alpha'_d \partial_x \bar{p}) + \partial_x \phi(\partial_\eta p' - \mu'_d)] = F_U \tag{2.28} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \partial_t V + & m_y [\partial_x(Uv) + \partial_y(Vv)] + (m_y/m_x)\partial_{\eta}(\Omega v) \\ &+ (m_y/m_x)(\alpha / \alpha_d)[\mu_d(\partial_y\phi' + \alpha_d\partial_y p' + \alpha'_d \partial_y \bar{p}) + \partial_y \phi(\partial_\eta p' - \mu'_d)] = F_V \tag{2.29} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \partial_t W + & m_x[\partial_x(Uw) + \partial_y(Vw)] + \partial_\eta(\Omega w) \\ &- m^{-1}_y g(\alpha / \alpha_d)[\partial_\eta p' - \bar{\mu}_d(q_v + q_c + q_r)] + m^{-1}_y \mu'_d g = F_W \tag{2.30} \end{aligned}$$

质量守恒方程（2.22）和位势方程（2.23）变为

$$\partial_t \mu'_d + m_x m_y[\partial_x U + \partial_y V] + m_y\partial_\eta \Omega = 0 \tag{2.31}$$

$$\partial_t \phi' + \mu^{-1}_d [m_x m_y(U\partial_x \phi + V\partial_y \phi) + m_y\Omega\partial_\eta \phi - m_ygW] = 0 \tag{2.32}$$

干空气静力压的诊断方程（2.15）变为

$$\partial_\eta \phi' = - \bar{\mu}_d \alpha'_d - \alpha_d \mu'_d. \tag{2.33}$$

此外，还提供一个可以使用干空气静压力的压高方程代替选项（2.33）：

$$\partial\phi / \partial(\ln{p_d}) = -p_d(\bar{\alpha}_d + \alpha'_d). \tag{2.34}$$

与（2.33）相比，当温度 $(p_d \alpha_d)$ 随 $\eta$ 的变化比密度 $(\alpha^{-1}_d)$ 的变化更线性时，这种静力关系形式可以产生更精准的离散化。位温（2.21）的守恒方程和标量水分方程（2.24）保持不变。

方程（2.28）–（2.33）以及状态方程（2.16）表示在 ARW 中求解的方程。 这些方程式中的 RHS 项包括科里奥利项（2.25）–（2.27），混合项（在第 4 章中描述）和参数化物理项（在第 8 章中描述）。还要注意，由于表达式中的指数，状态方程（2.16）不能写成扰动形式。对于小扰动模拟，可以通过线性化扰动变量（2.16）来保持扰动变量的精度。